Question

9．在等腰△ABC中，AB=AC，cos∠ABC$\frac{4}{5}$，点P是直线BC上一点，且PC PB=1：3，则tan∠APB=$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 如图，过D作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据cos∠ABC=$\frac{4}{5}$，设BD=4x，AB=5x，得到BC=8x，由于PC：PB=1：3，得到PD=2x，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：如图1，过D作AD⊥BC于D，∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵cos∠ABC=$\frac{4}{5}$，
∴设BD=4x，AB=5x，
∴AD=3x，
∴BC=8x，
∵PC：PB=1：3，
∴PB=6x，
∴PD=2x，
∴tan∠APB=$\frac{AD}{PD}=\frac{3x}{2x}$=$\frac{3}{2}$；
如图2，∵PC：PB=1：3，
∴PB=12x，
∴PD=8x，
∴tan∠APB=$\frac{AD}{PD}=\frac{3x}{2x}$$\frac{AD}{PD}=\frac{3x}{8x}$=$\frac{3}{8}$；
综上所述：tan∠APB=$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．