Question

4．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=2$\sqrt{3}$，BC=2．求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由OC=OB，PA=PB，利用等边对等角得到两对角相等，再利用弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，等量代换得到四个角都相等，由∠ABC为直角，得到∠OBC与∠OBA互余，等量代换得到∠OBA与∠PBA互余，即OB垂直于BP，即可确定出BP为圆的切线；
（2）设圆的半径为r，则AC=2r，在直角三角形ABC中，由AC与BC，利用勾股定理表示出AB，由（1）得到三角形PAB与三角形OCB相似，由相似得比例，将各自的值代入列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．

解答 （1）证明：连接OB，
∵OC=OB，AB=BP，
∴∠OCB=∠OBC，∠PAB=∠PBA，
∵AP为圆O的切线，
∴∠PAB=∠C，
∴∠PBA=∠OBC，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBC+∠OBA=90°，
∴∠PBA+∠OBA=90°，即∠PBO=90°，
则BP为圆O的切线；

（2）解：设圆的半径为r，则AC=2r，
在Rt△ABC中，AC=2r，BC=2，
根据勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
∵∠PAB=∠C，∠PBA=∠OBC，
∴△PAB∽△OCB，
∴$\frac{PA}{OC}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{r}=\frac{2\sqrt{{r}^{2}-1}}{2}$，
∴r$\sqrt{{r}^{2}-1}$=2$\sqrt{3}$，
∴r²（r²-1）=12，
∴r₁²=4，r₂²=-3（舍），
∴r₁=2，r₂=-2（舍），
则圆的半径为2．

点评 此题是切线的性质和判定，考查了等腰三角形的性质，弦切角的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断∠OBC+∠OBA=90°，难点是求半径．