Question

19．已知关于x的一元二次方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）当m取何值时，此方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数时，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若P（a，y₁），Q（1，y₂）是此抛物线上的两点，且y₁＞y₂，请结合函数图象直接写出实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式，直接计算即可；
（2）根据求根公式，求出两根，由抛物线与x轴的两个交点的横坐标都为正整数，求出m的值，可得抛物线解析式；
（3）画出图象，找到当y₁=y₂时，a的值，根据图象，直接判断即可．

解答 解：（1）由题意可知，△=b²-4ac=（3m+1）²-4m×3=（3m-1）²＞0，
解得m≠$\frac{1}{3}$，
∵mx²+（3m+1）x+3=0是一元二次方程，
∴m≠0，
∴当m≠$\frac{1}{3}$且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）有求根公式，得：x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-（3m+1）±\sqrt{（3m-1）^{2}}}{2m}$，
∴x₁=-3，x₂=-$\frac{1}{m}$，
∵抛物线与x轴两个交点的横坐标均为整数，且m为正整数，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3；
（3）如图，
当x=1时，y=1+4+3=8，
过点Q作y轴的垂线，交抛物线与点M，
根据抛物线的对称性，可得：点M（-5，8），
由图象可知，当y₁＞y₂时，a＞1，或a＜-5．

点评 本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．