Question

9．已知抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+（m-2）x+2m-6的对称轴为直线x=1，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求A，B，C三点的坐标；
（3）过点C作直线l∥x轴，将该抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线y=$\frac{1}{2}x+b$与图象G只有一个公共点时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出-m+2=1，求得m=1，
（2）分别令x=0、y=0，得到方程，解方程即可求得；
（3）分两种情况分别讨论即可得出b的取值范围．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+（m-2）x+2m-6的对称轴为直线x=1，
∴-m+2=1，
∴m=1；
（2）令y=0，
∴$\frac{1}{2}{x}^{2}$-x-4=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0），
令x=0，则y=-4，
∴C（0，-4）；
（3）由图象可知：
①当直线过C（0，-4）时，b=-4，
∴b＞-4；
②当直线与抛物线只有应该交点时，∴$\frac{1}{2}{x}^{2}$-x-4=$\frac{1}{2}$x+b，
整理得，x²-3x-8-2b=0，
∵△=9+4（8+2b）=0，
∴b=-$\frac{41}{8}$，
∴b＜-$\frac{41}{8}$，
综上，结合图象可知，b的取值范围为b＞-4或b＜-$\frac{41}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与结合变换，抛物线与坐标轴的交点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．