Question

10．已知如图，长方形ABCD中，有一内接?EFGH，它的各边平行于对角线，若长方形对角线长为12cm，则?EFGH的周长为24cm．

Answer 1

分析 延长HG交BC的延长线于点K，根据平行四边形的性质得出EH=GF，∠AEH=∠ABD=∠BDC=∠CGF，再由AAS定理得出△AEH≌△CGF（AAS），故可得出AH=CF，同理可得出△FCG≌△KCG，故可得出FG=GK，根据HG+FG=HG+GK=HK=AC即可得出结论．

解答 解：延长HG交BC的延长线于点K
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴EH=GF，且有EH∥BD∥GF，
∴∠AEH=∠ABD=∠BDC=∠CGF，
在△AEH与△CGF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AEH=∠CGF\\∠EAH=∠GCF\\ EH=GF\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴AH=CF．
在四边形ACKH中，
∵AH∥CK，AC∥HK，
∴四边形ACKH是平行四边形，
∴AH=CK．
在△FCG和△KCG中，
$\left\{\begin{array}{l}CG=CG\\∠FCG=∠KCG\\ CF=CK\end{array}\right.$，
∴△FCG≌△KCG（SAS），
∴FG=GK，
∴HG+FG=HG+GK=HK=AC，
∴平行四边形EFGH的周长为：2（HG+FG）=2AC=24（cm）．
故答案为：24．

点评 本题考查的是平行四边形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论．