Question

20．如图，在菱形ABCD中，AD=6，∠ABC=120°，E是BC的中点，P为对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接BD，DE，则DE的长即为PE+PB的最小值，再根据菱形ABCD中，∠ABC=120°得出∠BCD的度数，进而判断出△BCD是等边三角形，故△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可得出DE的长．

解答 解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴B、D关于直线AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵ABC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知菱形的性质及两点直线线段最短是解答此题的关键．