Question

5．如图，在等边△ABC中，D在边AB上，E在CD上，∠BED=60°，DE=2，△ACD的面积6$\sqrt{3}$，则线段CD的长为6．

Answer 1

分析 延长BE交AC边于点F，易证△ACD≌△CBF，得BF=CD，利用三角形的面积求出BF的长度，即为CD的长度．

解答 解：如图，延长BE交AC边于点F，
因为∠FCD+∠DCB=60°，∠DEB=∠EBC+∠ECB=60°，
∴∠ACD=∠FBC，
在△ACD和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠BAC}\\{∠FBC=∠ACD}\\{AC=BD}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴BF=CD，
∴S_△ACD=S_△CBF=6$\sqrt{3}$，
∵S_△CBF=$\frac{1}{2}$CE•EF•sin60°+$\frac{1}{2}$CE•BE•sin60°=$\frac{1}{2}$CE•BF•sin60°，
∵CE=CD-DE=CD-2，CD=BF，
∴S_△CBF=$\frac{1}{2}$（CD-2）•CD•sin60°=6$\sqrt{3}$，
∴CD=6．
故答案为6．

点评 本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积等，运用三角形全等求得S_△ACD=S_△CBF是解题的关键．