Question

16．如图，双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，AC平分∠OAB，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，则△OAC的面积是（　　）

• A． 1.5
• B． 1.6
• C． 1.8
• D． 2

Answer 1

分析 延长BC，交x轴于点D，作CE⊥OA于E，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CE=BC，则△OCD≌△OCE，△COD≌△COE，根据反比例函数的性质，可得出S_△OCD=$\frac{1}{2}$xy=1，则S_△OCE=$\frac{1}{2}$xy=1，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于$\frac{1}{2}$ay，即可得出答案．

解答 解：延长BC，交x轴于点D，作CE⊥OA于E，
∵∠ABC=90°，AB∥x轴，
∴BD⊥x轴，
设点C（x，y），AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CE，
∵AC平分∠OAB，
∴BC=CE，
∴AB=BC=CD，
∴点A（x-a，2y），△ABC≌△AEC，△COD≌△COE，
∵双曲线y=$\frac{2}{x}$（x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$×2=1，xy=2y（x-a）=2，
∴xy-ay=1，
∵xy=2
∴ay=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ay=$\frac{1}{2}$，
∴S_OAC=S_△ACE+S_△COE=S_△ABC+S_△COD=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选A．

点评 本题是一道反比例函数的综合题，考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质，难度偏大．