Question

5．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE．

（1）判断△PCE的形状（不必说明理由）；
（2）如图2，若点P是BD延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）如图3，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到BA=BC，∠ABP=∠CBP，证明△ABP≌△CBP，根据全等三角形的性质得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，根据平行线的性质计算，即可判断；
（2）同（1）的方法类似，进行证明；
（3）根据菱形的性质得到BA=BC，∠ABP=∠CBP，证明△ABP≌△CBP，根据全等三角形的性质得到PA=PC，∠BAP=∠BCP，根据平行线的性质计算，即可判断．

解答 解：（1）△PCE是等腰直角三角形．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵∠BAP+∠PAE=90°，
∴∠BCP+∠PEA=90°，
∵AE∥BC，
∴∠BCE+∠AEC=180°，
∴∠PCE+∠PEC=90°，
∴∠EPC=90°，
即△PCE是等腰直角三角形；

（2）（1）中的结论仍然成立．
由①得，△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∴∠BAP-90°=∠BCP-90°，即∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠PAE=∠DCP，
∴D、C、E、P四点共圆，
∴∠EPC=∠EDC=90°，
即△PCE是等腰直角三角形；

（3）AP=CE．
理由如下：∵四边形ABCD是正方形菱形，
∴BA=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABP=∠CBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP，
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA，
∵∠BAP+∠PAE=60°，
∴∠BCP+∠PEA=60°，
∵AE∥BC，
∴∠BCE+∠AEC=180°，
∴∠PCE+∠PEC=120°，
∴∠EPC=60°，
∴△PCE是等边三角形，
PE=CE，
∴AP=CE．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理、灵活运用类比思想是解题的关键．