Question

7．如图，已知△ABC中，AB=AC=8cm，∠B=∠C，BC=5cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过$\frac{80}{3}$秒后，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

Answer 1

分析 （1）①根据等腰三角形的性质，得到∠B=∠C，再结合BP=CQ=1，PC=BD=4，则可利用SAS判定△BPD与△CQP全等；
②设当点Q的运动速度为a厘米/秒，时间是t秒时，能够使△BPD与△CQP全等，根据点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，可得BP和CQ不是对应边，根据BD=CQ，BP=CP，可得t和a的值；
（2）求出Q的运动路程，与根据三角形ABC周长的整数倍进行比较，即可得出相遇点的位置．

解答 解：（1）①△BPD≌△CQP．
理由如下：
∵t=1s，
∴BP=CQ=1×1=1（cm），
∵AB=8cm，点D为AB的中点，
∴BD=4cm，
又∵PC=BC-BP，BC=5cm，
∴PC=5-1=4（cm），
∴PC=BD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=CP}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
即经过1秒后，△BPD与△CQP全等；

②设当点Q的运动速度为a厘米/秒，时间是t秒时，能够使△BPD与△CQP全等，
∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP和CQ不是对应边，
即BD=CQ，BP=CP，
即t=5-t，
解得：t=2.5，
∵BD=CQ，
∴4=2.5a，
解得：a=1.6；
即当点Q的运动速度为1.6cm/s，运动时间为$\frac{5}{2}$秒时，能够使△BPD与△CQP全等；

（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是1.6厘米/秒，
∴8+8+1t=1.6t，
解得：t=$\frac{80}{3}$，
此时点Q的路程=1.6×$\frac{80}{3}$=$\frac{128}{3}$（厘米），
∵$\frac{128}{3}$÷（8+8+5）=2$\frac{2}{63}$，$\frac{2}{63}$×（8+8+5）=$\frac{2}{3}$＜8，
∴经过$\frac{80}{3}$秒后点P与点Q第一次在△ABC的边AC上相遇．
故答案为：$\frac{80}{3}$，AC．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．