Question

15．若平移抛物线y=x²，使得新的抛物线与y轴交于点Q（0，-3），与x轴交于A、B两点，顶点为P，且△PAB的面积等于8，求抛物线的函数解析式及对称轴．

Answer 1

分析 设平移后抛物线的解析式为y=（x+h）²+k．则易求线段AB的长度，结合三角形的面积公式来求h的值．

解答 解：设平移后抛物线的解析式为y=（x-h）²+k=x²-2xh+h²+k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵新的抛物线与y轴交于点Q（0，-3），
∴h²+k=-3，P（h，k），
又∵x₁+x₂=2h，x₁•x₂=h²+k=-3，
∴AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4{h}^{2}-4{h}^{2}-4k}$=2$\sqrt{-k}$，
∴$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{-k}$×|k|=8，
解得k=-4，
∴h²-4=-3，则h=±1．
故该抛物线的解析式分为：y=（x±1）²-4，对称轴为x=±1．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换．解答过程中，要注意k＜0．