Question

20．山西陈醋是山西省的汉族传统名产，属于中国四大名醋之一，它的生产至今已有3000余年的历史，素有“天下第一醋”的盛誉，山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大象征著称于世．世袭传统京酿工艺，精选优良作原料，这个生产过程经历“蒸、酿、熏、淋”和“晒”五个步骤．无任何化学催化剂，现有一传统手工酿醋作坊计划生产A，B两种品质的醋共10缸，需购买甲、乙两种粮食，已知一下信息：

解答下列问题：
（1）现作坊计划用于甲、乙两种粮食资金不超过7500元，问符合条件的生产方案有哪几种？
（2）在（1）的条件下，若生产一缸A品质的醋需加工费200元，生产B品质的醋需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这10缸醋的成本最低，最低成本为多少？（成本=材料费+加工费）

Answer 1

分析 （1）设生产A种品质的醋x缸，生产B种品质的醋（10-x）缸，先表示出生产这10缸醋的购买甲乙两种粮食的费用为1.5×[300x+200（10-x）]+2.5×[100x+200（10-x）]，根据作坊计划用于甲、乙两种粮食资金不超过7500元，列出不等式组，然后解两个不等式求出其公共部分得到5≤x＜8，而x为整数，则x的值为5，6，7，易得符合条件的生产方案；
（2）设总生产成本为W元，加工费为：200x+300（10-x），则W=1.5×[300x+200（10-x）]+2.5×[100x+200（10-x）]+200x+300（10-x）=-200X+11000，根据一次函数的性质得到W随x的增大而减小，然后把x=5代入，即可得到最低成本的生产方案．

解答 解：（1）设生产A种品质的醋x缸，生产B种品质的醋（10-x）缸，
生产这10缸醋的购买甲乙两种粮食的费用为：1.5×[300x+200（10-x）]+2.5×[100x+200（10-x）]，
根据题意得：0＜1.5×[300x+200（10-x）]+2.5×[100x+200（10-x）]≤7500，
解得：5≤x＜8，
∴x=5、6、7，
共有三种方案：
①生产A种品质的醋5缸，生产B种品质的醋5缸；
②生产A种品质的醋6缸，生产B种品质的醋4缸；
③生产A种品质的醋7缸，生产B种品质的醋8缸；
（2）设生产A种品质的醋x缸，生产B种品质的醋（10-x）缸，总生产成本为W元，加工费为：200x+300（10-x），
则W=1.5×[300x+200（10-x）]+2.5×[100x+200（10-x）]+200x+300（10-x）=-200X+11000，
∵-200＜0，
∴W随x的增大而减小，
而x=5，6，7，
∴当x=5时，总成本最低，最低成本为11000元．
答：使生产这10缸醋的成本最低，应选择生产A种品质的醋5缸，生产B种品质的醋5缸，最低成本为11000元．

点评 本题考查了一次函数的应用：通过实际问题列出一次函数关系式，然后根据一次函数的性质解决问题．也考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用．