Question

3．二次函数y=ax²+bx+c图象如图所示，下列正确的个数为（　　）
①bc＞0
②2a-3c＜0
③2a+b＞0
④ax²+bx+c=0有两个解x₁，x₂，x₁＞0，x₂＜0
⑤a+b+c＞0
⑥当x＞1时，y随x增大而增大．

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 由抛物线开口向上知a＞0，由对称轴在y轴右侧知b＜0，由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c＜0，所以判定①正确；
由a＞0，c＜0，利用不等式的性质判定②错误；
由对称轴为x=$\frac{-b}{2a}$=1，得2a+b=0，可以判定③错误；
由抛物线与x轴的两个交点位置，可以判定④正确；
由当x=1时，y=a+b+c＜0，可以判定⑤错误；
根据二次函数的性质，可以判定⑥正确．
所以①④⑥正确．

解答 解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＜0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴bc＞0，
∴①正确；
∵a＞0，c＜0，
∴2a＞0，-3c＞0，
∴2a-3c＞0，
∴②错误；
∵对称轴为x=$\frac{-b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，
∴③错误；
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点横坐标的值即为方程ax²+bx+c=0的解，
由图形可知，一个交点在x轴正半轴上，一个交点在x轴负半轴上，
∴ax²+bx+c=0有两个解x₁，x₂，x₁＞0，x₂＜0，
∴④正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，
∴⑤错误；
∵a＞0，对称轴为x=1，
∴当x＞1时，y随x增大而增大，
∴⑥正确．
综上所述，①④⑥正确．
故选A．

点评 本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．同时考查了不等式的性质，二次函数与一元二次方程的关系．