Question

在正△ABC中，D为△ABC所在的平面内一点，当D点在平面内转动时，
（1）当∠BDC=60°，求∠ADB．
（2）当∠BDC=120°，求∠ADB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）在BD上截取DE=DC，连接CE，由∠BDC=60°，可得△EDC为正三角形，所以CE=CD，∠DCE=∠DEC=60°，然后由SAS可证△ADC≌△BEC，然后由全等三角形的对应角相等可得：∠BEC=∠ADC=120°，最后由∠BDC=60°，即可求∠ADB的度数；
（2）思路同（1），延长BD到E使DE=CD，连接CE，可得△EDC为正三角形，然后由SAS可证△ADC≌△BCE，然后由全等三角形的对应角相等可得：∠BEC=∠ADC=60°，最后由∠BDC=120°，即可求∠ADB的度数．

解答：解：（1）如图1，在BD上截取DE=DC，连接CE，

∵∠BDC=60°，
∴△EDC为正三角形，
∴DC=EC，∠DCE=∠DEC=60°，
∴∠BEC=120°，
∵△ABC是正三角形，
∴AC=AB，∠ACB=60°，
∵∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∠ACE+∠ACD=∠DCE=60°，
在△BCE和△ACD中，

AC=BC ∠BCE=∠ACD EC=DC

，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∵∠BDC=60°，
∴∠ADB=∠ADC-∠BDC=120°-60°=60°；
（2）如图2，延长BD到E使DE=CD，连接CE，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，
∴△CDE为正三角形，
∴CD=CE，∠DCE=∠E=60°，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即：∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC=∠E=60°，
∵∠BDC=120°，
∴∠ADB=∠BDC-∠ADC=60°．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是作适当辅助线，构造全等三角形．