Question

12．已知点A（-1，2）和点B（3，4）．试分别求出满足下列条件的点的坐标：
（1）在x轴上找一点C．使得AC+BC的值最小
（2）在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小．

Answer 1

分析 （1）根据“两点之间，线段最短”可以推知，当点A、C、B三点共线时，AC+BC的值最小．所以作B关于x轴的对称点B′，连结AB′交x轴于点C．点C即为所求；
（2）根据“两点之间，线段最短”可以推知，当点A、C、B三点共线时，AC+BC的值最小．由于连接AB交y轴于C，即可得到结果．

解答 解：（1）C点如图1所示（或作B关于x轴的对称点B′，连结AB′交x轴于点C）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）．
∵B（3，4），
∴B′（3，-4）．
又∵A（-1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4=3k+b}\\{2=-k+b}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴AB′直线解析式：y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
∴点C的坐标为（$\frac{1}{3}$，0）；
（2）C点如图2所示，连接AB交y轴于C，
则点C即为所求．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，坐标与图形的性质，正确的作出图形是解题的关键．