Question

2．如图的抛物线是把抛物线y=$\frac{1}{2}$x²平移后经过（0，-1）和（4，-1）两点得到的．
（1）求平移后抛物线的表达式．
（2）求平移后方向和距离．
（3）在平移后的抛物线上取一点P，以P为圆心作半径为2的⊙P，当⊙P与y轴相切时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设平移后的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，把（0，-1）和（4，-1）两点代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，解方程组即可得到结论；
（2）把y=$\frac{1}{2}$x²-2x-1配方得到y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-3，于是得到结论；
（3）当⊙P与y轴相切时，点P的横坐标是2或-2，把点P的坐标代入函数解析式，即可求得相应的纵坐标．

解答 解：（1）设平移后的抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，
把（0，-1）和（4，-1）两点代入
y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，得，$\left\{\begin{array}{l}{c=-1}\\{8+4b+c=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴平移后抛物线的表达式为：y=$\frac{1}{2}$x²-2x-1；

（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x-1=$\frac{1}{2}$（x-2）²-3，
∴把y=$\frac{1}{2}$x²向右平移2个单位，向下平移3个单位即可；

（3）∵点P在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-2x-1上，⊙P与y轴相切时，
∴设P（a，2）或（a，-2），
把P（2，a）代入y=$\frac{1}{2}$x²-2x-1得a=$\frac{1}{2}$×2²-2×2-1，
∴a=-3，
∴P（2，-3），
把P（-2，a）代入y=$\frac{1}{2}$x²-2x-1得a=$\frac{1}{2}$×（-2）²-2×（-2）-1，
∴a=5，
∴P（2，5），
综上所述：以P为圆心作半径为2的⊙P，当⊙P与y轴相切时，点P的坐标为（2，-3）或（-2，5）．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，为了防止漏解或错解，一定要分类讨论．