Question

10．阅读下列文字，解答下列问题：
某一粮店在两个不同时段的粮价不同，假设x，y分别表示两个时段粮食的单价（单位：元/千克）．
（1）孔明分别在两个时段各购买粮食100千克，若用Q₁表示孔明两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q₁．
（2）张飞分别在两个时段各花100元购买粮食，若用Q₂表示张飞两次购粮的平均单价，试用含x，y的代数式表示Q₂．
（3）一般地，“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零．”由此可见，要判断两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了．现规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算．请你判断孔明、张飞两人的购粮方式哪一个更合算些？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平均单价=$\frac{两次购买粮食的总金额}{两次购买粮食的重量和}$，代入可得结论；
（2）先计算张飞两次购买的粮食重量，再代入平均单价=$\frac{两次购买粮食的总金额}{两次购买粮食的重量和}$，计算即可；
（3）利用差比较大小，小的合算．

解答 解：（1）孔明第一次购买粮食付款100x元，第二次购买粮食付款100y元，两次共付款（100x+100y）元．

∵平均单价=$\frac{两次购买粮食的总金额}{两次购买粮食的重量和}$，

∴Q₁=$\frac{100x+100y}{100+100}$=$\frac{x+y}{2}$；

（2）张飞第一次购买粮食$\frac{100}{x}$千克，第二次购买粮食$\frac{100}{y}$千克，故两次共购买粮食$（\frac{100}{x}+\frac{100}{y}）$千克，
∵平均单价=$\frac{两次购买粮食的总金额}{两次购买粮食的重量和}$，

∴Q₂=$\frac{100+100}{\frac{100}{X}+\frac{100}{Y}}$=$\frac{2xy}{x+y}$；
（3）要判断谁更合算，就是判断Q₁、Q₂的大小，小的更合算些，
∵Q₁-Q₂=$\frac{x+y}{2}$-$\frac{2xy}{x+y}$=$\frac{（x-y）^{2}}{2（x+y）}$，且x≠y，
∴（x-y）²＞0而2（x+y）＞0，
∴Q₁-Q₂＞0，
故Q₁＞Q₂，
∴张飞的购粮方式更合算．

点评 本题考查了分式的混合运用和实际应用问题，明确平均单价=$\frac{两次购买粮食的总金额}{两次购买粮食的重量和}$是本题的关键，同时要注意分式大小的比较，方法较多，本题利用了作差比较大小，另外还可以作商、平方法等比较大小．