Question

20．【问题】
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在直线BC上（B，C除外），分别经过点E和点B做AE和AB的垂线，两条垂线交于点F，研究AE和EF的数量关系．
【探究发现】
某数学兴趣小组在探究AE，EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E是BC的中点时，只需要取AC边的中点G（如图1），通过推理证明就可以得到AE和EF的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE和EF的数量关系；

【数学思考】
那么当点E是直线BC上（B，C除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E在线段BC上”；“点E在线段BC的延长线”；“点E在线段BC的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）【探究发现】取AC边的中点G，连接EG，根据ASA判定△EAG≌△FEB，即可得出AE和EF的数量关系；
（2）【数学思考】分三种情况讨论：：①若点E在线段BC上，在AC上截取CG=CE，连接GE．②若点E在线段BC的反向延长线上，在AC反向延长线上截取CG=CE，连接GE．③若点E在线段BC的延长线，在AC延长线上截取CG=CE，连接GE．分别根据ASA判定△EAG≌△FEB，即可得出AE和EF的数量关系．

解答 解：【探究发现】AE和EF的数量关系为：AE=EF．
理由：如图1，取AC边的中点G，连接EG，

∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，AG=BE，△CEG是等腰直角三角形，
∴∠CGE=45°，∠EGA=135°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠EBF=135°，∠EAG=∠FEB，
在△EAG和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEB}\\{AG=BE}\\{∠EGA=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；

【数学思考】AE=EF仍然成立．
证明：①如图2，若点E在线段BC上，在AC上截取CG=CE，连接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB，
∴∠FEB=∠EAC，
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠AGE=∠EBF=135°，
在△EAG和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEB}\\{AG=BE}\\{∠EGA=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；
②如图3，若点E在线段BC的反向延长线上，在AC反向延长线上截取CG=CE，连接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∵∠FEB=∠AEF+∠AEC，∠EAG=∠C+∠AEC，
∴∠FEB=∠EAG，
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠AGE=∠EBF=45°，
在△EAG和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEB}\\{AG=BE}\\{∠EGA=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；
③如图4，若点E在线段BC的延长线，在AC延长线上截取CG=CE，连接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=45°，∠ABC=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=90°，
∴∠FEB+∠AEB=90°=∠EAG+∠AEB，∠EBF=45°=∠G，
∴∠FEB=∠EAG，
∵CA=CB，
∴AG=BE，
在△EAG和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEB}\\{AG=BE}\\{∠EGA=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形，运用全等三角形的对应边相等得出结论．解题时注意灵活运用等腰直角三角形的两个锐角都是45°．