Question

15．如图，E是矩形ABCD的边CB的中点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=4．求点A到直线DE的距离．

Answer 1

分析 由四边形ABCD 是矩形，得到∠ADC=∠C=90°，CD=AB=3，BC=AD=2，根据勾股定理得到DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$，通过△ADF∽△DCE，得到$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AF}{DE}$，列方程即可得到结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠C=90°，CD=AB=3，BC=AD=4，
∵E是矩形ABCD的边CB的中点，
∴CE=2，
∴DE=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴∠DAF+∠ADF=∠ADF+∠CDE=90°，
∴∠DAF=∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{AF}{DE}$，即$\frac{4}{3}$=$\frac{AF}{\sqrt{13}}$，
∴AF=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ADF∽△DCE是解题的关键．