Question

如图（1），在△ABC中中，直线ME垂直平分AB，分别交AB、BC于点E、M，直线NF垂直平分AC，分别交AC、BC于点F、N．

（1）求证：△AMN的周长等于BC的长；
（2）结合（1）的启发，解决下列问题：如图（2），在∠AOB=60°内部有一定点P，且OP=4，试在OA、OB上确定两点M、N，使△PMN周长最短，并求出最短周长．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）由直线PM为线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=BM，同理可得AN=NC，然后表示出三角形AMN的三边之和，等量代换可得其周长等于BC的长，由BC的长即可得到三角形AMN的周长．
（2）作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰三角形，据此即可求解．

解答：（1）证明：∵直线MP为线段AB的垂直平分线（已知），
∴MA=MB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
又∵直线NQ为线段AC的垂直平分线（已知），
∴NA=NC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴△AMN的周长l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC（等量代换），

（2）解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=120°，OC=OD．
∵OP=4，
∴OC=OD=4，
∴CD=4

3

，
∴△PMN周长最短值为4

3

．

点评：此题考查了线段垂直平分线定理的运用，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线定理是解本题的关键．