Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-2，0），B（0，4），点C在第四象限，AC⊥AB，AC=AB．
（1）求点C的坐标及∠COA的度数；
（2）若直线BC与x轴的交点为M，点P在经过点C与x轴平行的直线上，直接写出S_△POM+S_△BOM的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）作CD⊥x轴于点D，根据条件证明△AOB≌△CDA就可以得出AO=CD，连接OC根据OD=OC就可以求出∠COD=45°，从而得出结论；
（2）根据等底等高的两三角形的面积相等就可以得出S_△POM+S_△BOM=S_△COM+S_△BOM=S_△BOC．而得出结论．

解答：解：（1）作CD⊥x轴于点D，
∴∠CDA=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOB=∠CDA．
∴∠DAC+∠DCA=90°．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠ACD．
在△AOB和△CDA中

∠AOB=∠CDA ∠BAD=∠ACD BA=AC

，
∴△AOB≌△CDA（AAS），
∴AO=CD，OB=DA．
∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴CD=2，DA=4，
∴OD=2，
∴OD=CD．
∵点C在第四象限，
∴C（2，-2）．
∵∠CDO=90°，
∴∠COD=45°．
∴∠COA=180°-45°=135°．
（2）∵PC∥x轴，
∴点P到x轴的距离相等，
∴S_△POM=S_△COM．
∴S_△POM+S_△BOM=S_△COM+S_△BOM=S_△BOC．
∴S_△POM+S_△BOM=S_△BOC=

4×2

2

=4．
故答案为：4．

点评：本题考查了坐标与图形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．