Question

5．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B．
（1）请你在图中把图补画完整；
（2）求C′B的长．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出图形即可；
（2）连接BB′，延长BC′交AB′于点M；根据全等三角形的性质得到得到∠MBB′=∠MBA=30°；求出BM、C′M的长，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1所示，
（2）如图2，连接BB′，延长BC′交AB′于点M；
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC′=B′C′}\\{AB=B′B}\\{BC′=BC′}\end{array}\right.$，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠MBB′=∠MBA=30°，
∴BM⊥AB′，且AM=B′M；
由题意得：AB²=16，
∴AB′=AB=4，AM=2，
∴C′M=$\frac{1}{2}$AB′=2；由勾股定理可求：BM=2$\sqrt{3}$，
∴C′B=2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．