已知.Rt△ABC中.∠ACB=90°.点D为斜边AB的中点.△DEF的顶点E.F分别在边AC.BC上．(1)如图1.若AC=BC=4.∠EDF=90°.则EC+CF=4,(2)如图2.若∠EDF=90°.△ACB和△DEF相似吗?若相似.请给出证明.若不相似.请说明理由．(3)如图3.若BC=4.∠DEF=90°.且tan∠EDF=2.设AC=x.△DEF的面积为S.写出S关于x的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB的中点，△DEF的顶点E、F分别在边AC、BC上．
（1）如图1，若AC=BC=4，∠EDF=90°，则EC+CF=4（填数值）；
（2）如图2，若∠EDF=90°，△ACB和△DEF相似吗？若相似，请给出证明，若不相似，请说明理由．
（3）如图3，若BC=4，∠DEF=90°，且tan∠EDF=2，设AC=x（8≤x≤10），△DEF的面积为S，写出S关于x的函数解析式，求出S的最大值．

分析（1）连接CD，如图1，利用等腰直角三角形的性质得CD⊥AB，CD=AD=BD，CD平分∠ACB，然后证明△ADE≌△CDF得到AE=CF，从而得到EC+CF=AC=4；
（2）作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，如图2，先证明Rt△DEG∽Rt△DFH得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DG}{DH}$，再利用三角形中位线性质得DG=$\frac{1}{2}$BC，DH=$\frac{1}{2}$AC，则$\frac{DG}{DH}$=$\frac{BC}{AC}$，所以$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BC}{AC}$，然后根据相似三角形的判定方法可判断△EDF∽△BCA；
（3）作DM⊥AC于M，如图3，先证明Rt△DME∽Rt△ECF得到$\frac{DM}{CE}$=$\frac{DE}{EF}$，再得到DM=$\frac{1}{2}$BC=2，AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x，接着根据正切的定义得到tan∠DEF=$\frac{EF}{DE}$=2，即EF=2DE，于是可计算出CE=4，则ME=$\frac{1}{2}$x-4，利用勾股定理可得到DE²=$\frac{1}{4}$（x-8）²+4，然后利用三角形面积公式得到S=DE²=$\frac{1}{4}$（x-8）²+4（8≤x≤10），再利用二次函数的性质解决问题．

解答解：（1）连接CD，如图1，
∵AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∵D点为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，CD平分∠ACB，
∴∠A=45°，∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠EDF=90°，即∠EDC+∠FDC=90°，
而∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF，
∴EC+CF=EC+AE=AC=4；
故答案为4；
（2）相似．
作DG⊥AC于G，DH⊥BC于H，如图2，易得四边形DGCH为矩形，
∴∠GDH=90°，即∠GDF+∠FDH=90°，
∵∠EDF=90°，即∠EDG+∠GDF=90°，
∴∠EDG=∠FDH，
∴Rt△DEG∽Rt△DFH，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DG}{DH}$，
∵点D为AB的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$BC，DH=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{DG}{DH}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{DE}{BC}$=$\frac{DF}{AC}$，
而∠EDF=∠C=90°，
∴△EDF∽△BCA；
（3）作DM⊥AC于M，如图3，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEM+∠CEF=90°，
而∠DEM+∠DME=90°，
∴∠CEF=∠DME，
∴Rt△DME∽Rt△ECF，
∴$\frac{DM}{CE}$=$\frac{DE}{EF}$，
∵点D为AB的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$BC=2，AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x，
∵tan∠DEF=$\frac{EF}{DE}$=2，即EF=2DE，
∴$\frac{DM}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴CE=4，
∴ME=MC-CE=$\frac{1}{2}$x-4，
在Rt△DME中，DE²=2²+（$\frac{1}{2}$x-4）²=$\frac{1}{4}$（x-8）²+4，
∴S=$\frac{1}{2}$DE•EF=$\frac{1}{2}$DE•2DE=DE²=$\frac{1}{4}$（x-8）²+4（8≤x≤10），
当x＞8时，S随x的增大而增大，
∴当x=10时，S取最大值，最大值为$\frac{1}{4}$（10-8）²+4=5．