Question

6．已知二次函数图象经过A（3，0）、B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函数解析式及对称轴；
（2）在对称轴上是否存在一点P，使得△PAB中PA=PB？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，把A（3，0）、B（2，-3），C（0，-3）代入，得到方程组，求出a，b，c的值，即可解答；
（2）设P（1，t），利用两点间的距离公式得到（1+1）²+t²=（1-2）²+（t+3）²，由于解得t=-1，则可判断存在一点P，使PA=PB，此时P点坐标为（1，-1）．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，
把A（3，0）、B（2，-3），C（0，-3）代入，得，
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{4a+2b+c=-3}\\{c=-3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴y=x²-2x-3，
对称轴x=-$\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}$=1．
（2）存在．
设P（1，t），
∵PA=PB，
∴（1+1）²+t²=（1-2）²+（t+3）²，解得t=-1，
∴满足条件的P点坐标为（1，-1）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．