Question

12．如图．已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠CBA，且交AC于点D，AC=1．求AD的长．

Answer 1

分析 根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠CBD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2CD，再根据等角对等边可得AD=BD，列方程即可得到结论．

解答 解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵BD平分∠CBA，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴BD=2CD，
又∵∠A=∠ABD=30°，
∴AD=BD，
∵AC=1，
∴AD+CD=3CD=1，
∴CD=$\frac{1}{3}$，
∴AD=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．