题目内容
20．已知：如图，△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，∠B=∠C，点D为AB的中点，如果P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，与此同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相同，是否会出现某一时刻△BPD与△CPQ全等的情况？为什么？（若不能全等，说明理由；若能够全等，求出这个时刻）．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相同，是否会出现某一时刻△BPD与△CPQ全等的情况？为什么？（若不能全等，说明理由；若能够全等，求出这个时刻以及Q点的运动速度）
分析 （1）设运动的时间为t，则BP=3t，CQ=3t，PC=6-3t，由于∠B=∠C，当BD=CP，BP=CQ时，根据”SAS“可判断△BPD≌△CPQ，即6-3t=4，3t=3t，解得t=$\frac{2}{3}$；当BD=CQ，BP=CP时，△BPD≌△CPQ，即3t=4且3t=6-3t，无解，于是得到点P、Q都运动$\frac{2}{3}$秒时，△BPD与△CPQ全等；
（2）设运动的时间为t，Q点的运动速度为xcm/s且x≠3，则BP=3t，CQ=tx，PC=6-3t，与（1）一样，当BD=CP，BP=CQ时，可判断△BPD≌△CPQ，即6-3t=4，tx=3t，解得t=$\frac{2}{3}$，x=3（不合题意舍去）；当BD=CQ，BP=CP时，可判断△BPD≌△CPQ，即tx=4，3t=6-3t，解得t=1，x=4，于是得到Q点的速度为4cm/s，运动时间为1s时，△BPD与△CPQ全等．
解答 解：（1）设运动的时间为t，则BP=3t，CQ=3t，
∴PC=6-3t，
∵点D为AB的中点，
∴BD=4，
∵∠B=∠C，
∴当BD=CP，BP=CQ时，△BPD≌△CPQ，即6-3t=4，3t=3t，解得t=$\frac{2}{3}$，
即点P、Q都运动$\frac{2}{3}$秒时，△BPD与△CPQ全等；
当BD=CQ，BP=CP时，△BPD≌△CPQ，即3t=4且3t=6-3t，无解．
综上所述，点P、Q都运动$\frac{2}{3}$秒时，△BPD与△CPQ全等；
（2）设运动的时间为t，Q点的运动速度为xcm/s，x≠3，则BP=3t，CQ=tx，
∴PC=6-3t，
∵∠B=∠C，
∴当BD=CP，BP=CQ时，△BPD≌△CPQ，即6-3t=4，tx=3t，解得t=$\frac{2}{3}$，x=3（舍去），
当BD=CQ，BP=CP时，△BPD≌△CPQ，即tx=4，3t=6-3t，解得t=1，x=4，
∴点Q点的速度为4cm/s，运动时间为1s时，△BPD与△CPQ全等．
点评 本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了等腰三角形的性质和分类讨论的思想．
| A． | 6038 | B． | 6039 | C． | 6047 | D． | 6048 |
如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，求出未知边x，y，的长度和∠α，∠β的度数．
如图．已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠CBA，且交AC于点D，AC=1．求AD的长．