Question

5．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点B₁、点C₁的坐标分别为（1，0），（1，$\sqrt{3}$）．将△OB₁C₁绕原点O逆时针旋转60°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB₂=OC₁，得到△OB₂C₂，将△OB₂C₂绕原点O逆时针旋转60°，再将其各边都扩大为原来的m倍，使OB₃=OC₂，得到△OB₃C₃，如此下去，得到△OB_nC_n．
（1）m的值是2；
（2）△OB₂₀₁₁C₂₀₁₁中，点C₂₀₁₁的坐标：（2²⁰¹⁰，2²⁰¹⁰$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 （1）易得OB₂=mOB₁=OC₁，根据最初的三角形中OB₁，OC₁的关系可得m的值；
（2）可得旋转6次后，正好旋转一周，那么可得点C₂₀₁₁的坐标跟C₁的坐标在一条射线上，其横纵坐标均为原来的2010倍．

解答 解：（1）在△OB₁C₁中，
∵OB₁=1，B₁C₁=$\sqrt{3}$，
∴tan∠C₁OB₁=$\sqrt{3}$，
∴∠C₁OB₁=60°，OC₁=2，
∵OB₂=mOB₁，OB₂=OC₁，
∴m=2，
故答案为2；

（2）∵每一次的旋转角是60°，
∴旋转6次后C在x轴正半轴上，
∴2011÷6=335…1，
∴点C₂₀₁₁的坐标跟C₁的坐标在一条射线上，
∵第2次旋转后，各边长是原来的2倍，第3次旋转后，各边长是原来的2²倍，
∴点C₂₀₁₁的横纵坐标均为原来的2010倍．
故答案为：（2²⁰¹⁰，2²⁰¹⁰$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了坐标与图形的变化-旋转，解直角三角形，根据解直角三角形，以及30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出m的值是解题的关键．