Question

3．如图，抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长；
（3）P为AE下方抛物线上的点，当△AEP的面积最大时，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由于抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，根据待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）先得到点E（2，-3），根据勾股定理可求BE，再根据直角三角形的性质可求线段HF的长；
（3）先确定出直线AE解析式，设出点P的坐标，进而表示出点G的坐标，用三角形的面积的计算方法建立函数关系式，即可确定出最大值．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m=4-4-3=-3，
∴E（2，-3），
∴BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；

（3）如图，

过点P作PG∥y轴交AE于G，连接AP，PE，
由（2）知，E（2，-3），
∵A（-1，0），
∴直线OE的解析式为y=-x-1
设P（n，n²-2n-3），（-1＜n＜2）
∴G（n，-n-1），
∴PG=-n-1-（n²-2n-3）=-n²+n+2，
∴S_△APE=S_△APG+S_△EPG
=$\frac{1}{2}$PG•|x_P-x_A|+$\frac{1}{2}$PG•|x_E-x_P|
=$\frac{1}{2}$PG（x_P-x_A+x_E-x_P）
=$\frac{1}{2}$PG×（x_E-x_A）
=$\frac{1}{2}$（-n²+n+2）（2+1）
=-$\frac{3}{2}$（n²-n-2）
=-$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当n=$\frac{1}{2}$时，S_△APE=$\frac{27}{8}$，此时，P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．

点评 此题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，直角三角形的性质，三角形面积的计算，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．