Question

7．如图，AB是半圆O的直径，D是弧BC的中点，四边形ABCD的对角线AD、BC交于点E，AC、BD的延长线交于点F
（1）求证：△BDE∽△ADB；
（2）若AB=2$\sqrt{5}$，AD=4，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）由D是弧BC的中点，得到$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，求得∠BAD=∠DBE，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由AB是半圆O的直径，得到AD⊥BF，BC⊥AF，根据勾股定理得到BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2，根据全等三角形的性质得到DF=BD=2，然后由相似三角形的性质即可得到结论．

解答 （1）证明：∵D是弧BC的中点，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠BAD=∠DBE，
∵∠BDE=∠ADB，
∴△BDE∽△ADB；
（2）解：∵AB是半圆O的直径，
∴AD⊥BF，BC⊥AF，
∵AB=2$\sqrt{5}$，AD=4，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2，
在△ABD与△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠BAD}\\{AD=AD}\\{∠ADF=∠ADB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△AFD，
∴DF=BD=2，
∴BF=4，
∵∠BCF=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△BFC，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{BD}{CF}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{2}{CF}$，
∴CF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．