Question

12．一工厂共有6条生产线生产某种机器设备，每条生产线每月可生产500台，该厂计划从今年1月开始对6条生产线各进行一次改造升级，每月改造升级1条生产线，这条生产线当月停产，并于次月再投入生产，每条生产线改造升级后，每月产量将比原来提高20%．已知每条生产线改造升级的费用为30万元，将今年1月份作为第1个月开始往后算，该厂第x（x是正整数）个月的产量设为y台．
（1）求该厂第3个月的产量；
（2）请求出y关于x的函数解析式；
（3）如果每生产一台机器可盈利400元，至少要到第几个月，这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额？

Answer 1

分析 （1）根据：第3个月的产量=前2条生产线改造后的产量和+后3条生产线未改造的产量和，列式计算可得；
（2）当1≤x≤6时，根据（1）中相等关系可列函数关系式；当x＞6时，总产量=改造后每条生产线的产量×生产线数量；
（3）根据前6个月的总盈利=一台机器的盈利×前6个月的生产量-改造升级的总费用，计算出前6个月的总盈利，再计算出不升级改造的总盈利可得x＞6，继而根据：该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额≥同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额，列出不等式即可得x的范围．

解答 解：（1）由已知可得，第3个月的产量是：
2×500×（1+20%）+500×3=2700（台），
答：该厂第3个月的产量是2700台．

（2）①当1≤x≤6时，每月均有一条生产线在停产改造，即均是有5条生产线在生产，
其中，升级后的生产线有x-1条，未升级的生产线有6-x条，
根据题意，得：y=（x-1）×500×（1+20%）+（6-x）×500=100x+2400；
②当x＞6时，y=500×（1+20%）×6=3600台；
综上，y=$\left\{\begin{array}{l}{100x+2400}&{（1≤x≤6）}\\{3600}&{（x＞6）}\end{array}\right.$．

（3）由（2）得，当1≤x≤6时，y=100x+2400，
则前6个月的总产量Q=100×（1+2+3+4+5+6）+2400×6=16500（台），
∴前6个月的盈利扣除改造升级的成本应是：16500×0.04-30×6=480（万元），
如果不升级改造，前6个月盈利应是：500×6×6×0.04=720（万元），
故前6个月不符合题目要求，从而得x＞6，
则有：480+（x-6）×3600×0.04≥500×6x×0.04，
解得：x≥16，
答：至少要到第16个月，这期间该厂的盈利扣除生产线改造升级费用后的盈利总金额将超过同样时间内生产线不作改造升级时的盈利总额．

点评 本题考查了一次函数的运用、列一元一次不等式解实际问题的运用，总盈利=一台机器的盈利×生产量-改造升级的总费用，解答时求出一次函数解析式是解答本题的关键．