有些规律问题可以借助函数思想建立数学模型来探讨解决.如此“问题情境 :用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放.则第1000个图中共有多少枚棋子?我们可以如此探讨.具体步骤:第一步:确定研究关系中的自变量与函数,第二步:在直角坐标系中描点画出函数图象,第三步:根据函数图象猜想并求出函数关系式,第四步:把另外的点代入验证．若成立.则得到� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

有些规律问题可以借助函数思想建立数学模型来探讨解决，如此“问题情境”：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第1000个图中共有多少枚棋子？

我们可以如此探讨，具体步骤：
第一步：确定研究关系中的自变量与函数；
第二步：在直角坐标系中描点画出函数图象；
第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；
第四步：把另外的点代入验证．
若成立，则得到表达规律的关系式，进而解决问题．
请依照以上步骤，解答“问题情境”中的问题．
（每一步要写出简要的过程说明）

分析第一步：确定关系中的自变量为图形的序号x，函数为第x个图形中的点数y；
第二步：由题意得到关系满足的点（1，2），（2，5），（3，9）（4，14），画出图象即可；
第三步：猜想函数关系为二次函数，解方程组即可得到函数解析式y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
第四步：把（4，14）代入验证猜想，左边=14，右边=$\frac{1}{2}×{4}^{2}+\frac{3}{2}×4=14$，左边=右边，确定表达规律的关系式为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，即可得到结论．

解答解：第一步：确定关系中的自变量为图形的序号x，函数为第x个图形中的点数y；
第二步：由题意得关系满足点（1，2），（2，5），（3，9）（4，14），则可描点画出大致图象；
第三步：猜想函数关系为二次函数，
设函数解析式为：y=ax²+bx+c，
∵函数图形过（1，2），（2，5）（3，9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=a+b+c}\\{5=4a+2b+c}\\{9=9a+3b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴函数解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
第四步：把（4，14）代入验证猜想，左边=14，右边=$\frac{1}{2}×{4}^{2}+\frac{3}{2}×4=14$，左边=右边，
∴猜想正确，表达规律的关系式为y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x，
当x=100时，y=501500．