Question

11．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找出一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为多少？

Answer 1

分析 根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

解答 解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠BAE=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠A′+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠A′=∠MAA′，∠NAE=∠A″，
且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAE+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAE+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×60°=120°，
故答案为120°．

点评 此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．