Question

20．如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒2个单位长度，射线BM与x轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若P点开始运动时，Q点也同时开始从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴方向运动，t秒后，以P，Q，C为顶点的三角形为等腰三角形．求t的值．

Answer 1

分析 （1）先由A（-1，0），B（0，2），可得：OA=1，OB=2，然后根据射影定理可求出OC的值，进而确定点C的坐标；
（2）分三种情况讨论即可：①当PQ=QC时；②当PQ=PC时；③当PC=QC时．

解答 解：（1）∵A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2，
∵BC⊥AB，OB⊥AC，
∴OB²=OA•OC，
∴OC=4，
∴点C的坐标为：（4，0）；
（2）∵点C的坐标为：（4，0），
∴OC=4，
∴AC=1+4=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵P点的运动速度为每秒2个单位长度，Q点以每秒1个单位长度的速度沿x轴方向运动，
∴t秒后，BP=2t，CQ=t，
则PC=2$\sqrt{5}$-2t，
①当PQ=QC时，如图1，

作QE⊥PC，
∵PQ=QC，
∴EC=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{5}$-t，
∵QE⊥BC，AB⊥BC，
∴QE∥AB，
∴△CEQ∽△CBA，
∴$\frac{CE}{BC}=\frac{CQ}{AC}$，
即$\frac{\sqrt{5}-t}{2\sqrt{5}}=\frac{t}{5}$，
解得：t=5$\sqrt{5}$-10；
②当PQ=PC时，如图2，

作PF⊥QC垂足为F，
∵PQ=PC，
∴FC=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$t，
∵AB⊥BC，PF⊥QC，
∴∠ABC=∠PFC=90°，
∵∠PCF=∠ACP，
∴△PCF∽△ACB，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{FC}{BC}$，
即$\frac{2\sqrt{5}-2t}{5}=\frac{\frac{1}{2}t}{2\sqrt{5}}$，
解得：t=$\frac{64\sqrt{5}-40}{59}$；
③当PC=QC时，如图3，

∵PC=QC，
∴2$\sqrt{5}$-2t=t，
解得：t=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴当t=5$\sqrt{5}$-10或t=$\frac{64\sqrt{5}-40}{59}$或t=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$时，以P，Q，C为顶点的三角形为等腰三角形．

点评 此题是一次函数的综合题，主要考查了动点问题，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解（2）的关键是：分三种情况讨论：①当PQ=QC时；②当PQ=PC时；③当PC=QC时．