Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）求证：CD²=AB•EF．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质，于是可判断OD∥AC，由于DF⊥AC，所以OD⊥DF，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，等量代换得到∠DEF=∠C，求得DE=DC，推出CF=EF，通过△CDF∽△CAD，得到$\frac{CD}{CF}=\frac{CA}{CD}$，即可得到结论．

解答 证明：（1）连接OD，AD，
∵AB=AC，AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC于F，
∴OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；

（2）连接DE，则∠B=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEF=∠C，
∴DE=DC，
∴CF=EF，
在Rt△ADC中，DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ADC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CF}=\frac{CA}{CD}$，
∴CD²=CF•CA
即CD²=AB•EF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理．