Question

3．如图，点E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，AE平分∠BAC、CF平分∠ACD．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AE=BE，∠BAC=90°，求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，且∠B=∠D，再由CE=AF，可得BE=DF，即可利用SAS定理判定△ABE≌△CDF；
（2）首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据AE=BE，可得∠ABE=∠BAE，由∠BAC=90°可得∠ABE+∠ACE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，再根据等角的余角相等可得∠ACE=∠EAC，进而得到AE=EC，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AE平分∠BAC、CF平分∠ACD，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$BAC，∠FCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{AB=CD}\\{∠BAE=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE=BE，
∴∠ABE=∠BAE，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠ACE=90°，∠BAE+∠EAC=90°．
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形．
∴四边形AECF是菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握①平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相，对角线互相平分，②菱形的判定定理：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．