Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$cm，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）当t为何值时，DF⊥ED；
（2）当t为何值时，四边形AEFD是菱形？

Answer 1

分析 （1）当DE∥BC时，可以证明四边形BEDF是矩形，由$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$列出方程即可解决．
（2）当AE=AD时，可以证明四边形AEFD是菱形，列出方程即可．

解答 解：（1）当DE∥BC时，∵DF∥AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EDF=90°即DE⊥DF．
在RT△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°，
∴AB=5，AC=10，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴t=$\frac{5}{2}$．
（2）∵在RT△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$•2t=t，
∵AE=t，
∴AE=DF，∵AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
当AE=AD时，四边形AEFD是菱形，
∴t=10-2t，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴t=$\frac{10}{3}$时，四边形AEFD是菱形．

点评 本题考查菱形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形、菱形的判定和性质，学会转化的思想，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．