Question

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．
（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；
（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，易证EH是△DBC的中位线及△AHE∽△EHD，设AH=x，运用相似三角形的性质可求出x，就可求出tan∠AFB的值；
（2）取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，易证四点A、C、B、E共圆，根据圆周角定理可得∠BCE=∠BAF，根据圆内接四边形内角互补可得∠CBE+∠CAE=180°，由此可推出∠CBE=∠BFA，从而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE•FA=BC•AB，只需求出AB就可解决问题；
（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，易证四边形EMCH是矩形，由△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似可得△BGE与△BCE相似，即可得到∠EBG=∠ECB．由点A、C、B、E共圆可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，根据角平分线的性质可得EM=EH，即可得到矩形EMCH是正方形，则有CM=CH，易证EB=EA，根据HL可得Rt△BME∽Rt△AHE，则有BM=AH．设AH=x，根据CM=CH可求出x，由此可求出CE的长，再利用（2）中的结果就可求出AF的值．

解答 解：（1）过点E作EH⊥CD于H，如图1，

则有∠EHA=∠EHD=90°．
∵∠BCD=90°，BE=DE，
∴CE=DE．
∴CH=DH，
∴EH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{7}{2}$．
设AH=x，则DH=CH=x+1．
∵AE⊥BD，
∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°．
∵∠AEH+∠EAH=90°，
∴∠EAH=∠DEH，
∴△AHE∽△EHD，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{EH}{DH}$，
∴EH²=AH•DH，
∴（$\frac{7}{2}$）²=x（x+1），
解得x=$\frac{5\sqrt{2}-1}{2}$（舍负），
∴tan∠EAH=$\frac{EH}{AH}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{5\sqrt{2}-1}{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}+1}{7}$．
∵BF∥CD，
∴∠AFB=∠EAH，
∴tan∠AFB=$\frac{5\sqrt{2}+1}{7}$；

（2）CE•AF的值不变．
取AB的中点O，连接OC、OE，如图2，

∵∠BCA=∠BEA=90°，
∴OC=OA=OB=OE，
∴点A、C、B、E共圆，
∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．
∵BF∥CD，
∴∠BFA+∠CAE=180°，
∴∠CBE=∠BFA，
∴△BCE∽△FAB，
∴$\frac{BC}{FA}$=$\frac{CE}{AB}$，
∴CE•FA=BC•AB．
∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，
∴AB=5$\sqrt{2}$，
∴CE•FA=7×5$\sqrt{2}$=35$\sqrt{2}$；

（3）过点E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如图3，

∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，
∴四边形EMCH是矩形．
∵△BCE∽△FAB，△BGE与△FAB相似，
∴△BGE与△BCE相似，
∴∠EBG=∠ECB．
∵点A、C、B、E共圆，
∴∠ECA=∠EBG，
∴∠ECB=∠ECA，
∴EM=EH，
∴矩形EMCH是正方形，
∴CM=CH．
∵∠ECB=∠ECA=$\frac{1}{2}$∠BCA=45°，
∴∠EBA=∠EAB=45°，
∴EB=EA，
∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），
∴BM=AH．
设AH=x，则BM=x，CM=7-x，CH=1+x，
∴7-x=1+x，
∴x=3，
∴CH=4．
在Rt△CHE中，
cos∠ECH=$\frac{CH}{CE}$=$\frac{4}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴CE=4$\sqrt{2}$．
由（2）可得CE•FA=35$\sqrt{2}$，
∴AF=$\frac{35\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$=$\frac{35}{4}$．

点评 本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、正方形的判定与性质等知识，综合性强，有一定的难度，证到△BCE∽△FAB是解决第（2）小题的关键，证出Rt△BME≌Rt△AHE是解决第（3）小题的关键．