Question

3．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=3cm，AB=3$\sqrt{3}$cm，则图中阴影部分的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}π$．

Answer 1

分析 由AB为圆的切线，得到OC⊥AB，再由OA=OB，利用三线合一得到C为AB中点，且OC为角平分线，在直角三角形AOC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而确定出AB的长，求出∠AOB度数，阴影部分面积=三角形AOB面积-扇形AOB面积，求出即可．

解答 解：连接OC，
∵AB与圆O相切，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠AOC=$\frac{AC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{3}{2}$，
∴S_阴影=S_△AOB-S_扇形=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×$\frac{3}{2}$-$\frac{120π×（\frac{3}{2}）^{2}}{360}$，
故图中阴影部分的面积为$\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}π$，
故答案为：$\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}π$．

点评 此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及扇形面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．