Question

20．某商场有A、B两种商品，每件的进价分别为15元、35元．商场销售5件A商品和1件B商品，可获得利润35元；销售6件A商品和3件B商品，可获得利润60元．
（1）求A、B两种商品的销售单价；
（2）如果该商场计划最多投入2 000元用于购进A、B两种商品共80件，那么购进A种商品的件数应满足怎样的条件？
（3）现该商场对A、B两种商品进行优惠促销，优惠措施如表所示：

打折前一次性购物总金额	优惠措施
不超过500元	售价打九折
超过500元	售价打八折

如果一次性付款432元同时购买A、B两种商品，求商场获得的最小利润和最大利润．

Answer 1

分析 （1）根据商场销售5件A商品和1件B商品，可获得利润35元；销售6件A商品和3件B商品，可获得利润60元，分别得出等式求出答案；
（2）根据“商场计划最多投入2000元用于购进此两种商品共80件”列出不等式，解不等式求出其解；
（3）设到该商场购买甲种商品m件，购买乙种商品n件．分两种情况讨论：①打折前一次性购物总金额不超过500；②打折前一次性购物总金额超过500．

解答 解：（1）设甲商品售价为x元，则乙商品售价为y元，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{5（x-15）+y-35=35}\\{6（x-15）+3（y-35）=60}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=20}\\{y=45}\end{array}\right.$，
答：甲商品售价为20元，则乙商品售价为45元

（2）由题意，得15x+35（80-x）≤2000，
解之，得x≥40．
故购进A种商品的件数不应低于40件；

（3）设到该商场购买甲种商品m件，购买乙种商品n件．
①当打折前一次性购物总金额不超过500时，购物总金额为432÷0.9=480（元），
则20m+45n=480，m=24-$\frac{9}{4}$n＞0，∴0＜n＜$\frac{32}{3}$．
n是4的倍数，有2种情况：
情况1：m=6，n=8，则利润是：432-8×35-6×15=62（元）；
情况2：m=15，n=4，则利润是：432-（15×15+35×4）=67（元）；
②当打折前一次性购物总金额超过500时，购物总金额为432÷0.8=540（元），
则20m+45n=540，m=27-$\frac{9}{4}$n≥0，∴0＜n≤12．
m、n均是正整数，n是4的倍数，有2种情况：
情况1：m=9，n=8，则利润为：432-（9×15+8×35）=17（元）；
情况2：m=18，n=4，则利润为：432-（18×15+4×35）=22（元）；
综上所述，商家可获得的最小利润是17元，最大利润是67元．

点评 本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的运用，解答本题时求出一次函数的解析式，进行分类讨论是关键．