Question

15．【阅读】求值：1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶ ①
将等式①的两边同时乘以2得
　　　 2S=2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁷②
由②-①得2S-S=2²⁰¹⁷-1
　　　 即：S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹⁶=2²⁰¹⁷-1
仿照此法计算：
（1）1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰
（2）1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$
【应用】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S₁，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S₂，依次操作2016次，依次得到小正方形S₃、S₄…S₂₀₁₆．
完成下列问题：
（3）小正方形S₂₀₁₆的面积等于$\frac{1}{{4}^{2016}}$；
（4）求正方形S₁、S₂、S₃、S₄…S₂₀₁₆的面积和．

Answer 1

分析 （1）先将等式①的两边同时乘以3，再由②-①得结论；
（2）将等式①的两边同时乘以$\frac{1}{2}$，再由②-①得结论；
（3）根据题意依次求S₁、S₂、S₃、…，得出S₂₀₁₆的值；
（4）将等式①的两边同时乘以$\frac{1}{4}$，再由②-①得结论；

解答 解：（1）设S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰①，
将等式①的两边同时乘以3得：3S=3+3²+3³+…+3¹⁰⁰+3¹⁰¹②，
由②-①得3S-S=3¹⁰¹-1，
即：S=1+3+3²+3³+…+3¹⁰⁰=$\frac{{3}^{101}-1}{2}$；
（2）设S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$①，
将等式①的两边同时乘以$\frac{1}{2}$得：$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$+$\frac{1}{{2}^{101}}$②，
由②-①得：$\frac{1}{2}$S-S=$\frac{1}{{2}^{101}}$-1，S=2-$\frac{1}{{2}^{100}}$，
即：S=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{100}}$=2-$\frac{1}{{2}^{100}}$；
（3）由题意得：S=1，S₁=$\frac{1}{4}$，S₂=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{4}^{2}}$，S₃=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{{4}^{3}}$，…，S₂₀₁₆=$\frac{1}{{4}^{2016}}$，
故答案为：$\frac{1}{{4}^{2016}}$；
（4）设A=S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₆=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{2016}}$①，
将等式①的两边同时乘以$\frac{1}{4}$得：$\frac{1}{4}$A=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{2016}}$+$\frac{1}{{4}^{2017}}$②，
由②-①得：$\frac{1}{4}$A-A=$\frac{1}{{4}^{2017}}$-1，A=-$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{{4}^{2017}}$-1），
即：S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₂₀₁₆=-$\frac{4}{3}$（$\frac{1}{{4}^{2017}}$-1）．

点评 本题是数字与图形相结合的规律题，关键是认真阅读已知材料，通过归纳与总结，得到其中的规律，并按此规律进行计算；本题还通过等分正方形的面积与数字类的规律结合在一起，进一步将数字类的规律应用到数学中来．