Question

19．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，边BC是⊙0的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AC=8，tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，根据平行线的性质和等腰三角形的性质证明；
（2）连接CE，根据正切的定义和勾股定理求出AD，根据正切的定义计算即可．

解答 （1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，又∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠BAC；
（2）解：连接CE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠OAD=∠CAD，tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠EAD=$\frac{3}{4}$，
∵tan∠DAC=$\frac{3}{4}$，AC=8，
∴CD=6，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=10，
∴$\frac{DE}{10}$=$\frac{3}{4}$，
解得，DE=$\frac{15}{2}$，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{25}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．