Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB=5，BC=6，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；
（2）根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）相切，理由如下：
连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴CD=BD=$\frac{1}{2}$BC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．

（2）由（1）知∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理　得
AD=$\sqrt{A{C}^{2}-（\frac{1}{2}BC）^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-（\frac{1}{2}×6）^{2}}$=4．
∵S_ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$AC•DE，
∴$\frac{1}{2}$×4×3=$\frac{1}{2}$×5DE．
∴DE=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定，连接OD，证得OD⊥DE是解题关键．