Question

10．如图，?ABCD中，AB=8，∠DAB的平分线交边CD于E（点E不与A，D重合），过点E作AE的垂线交BC所在直线于点G，交AB所在直线于点F．

（1）当点G在CB的延长线上时（如图2），判断△BFG是什么三角形？说明理由．如果点G在B，C之间时此结论是否仍然成立？（不必说明理由）
（2）当点G在B，C之间时（如图1），求AD的范围；
（3）当2BG=BC时，求AD的长度．

Answer 1

分析 （1）如图2，△BFG是等腰三角形，作平行线，构建菱形ADEH，证明AH=EH，所以∠EAH=∠AEH，再证明∠GFB=∠G，根据等角对等边得：BF=BG，所以△BFG是等腰三角形；
如图1，同理可得：△BFG是等腰三角形；
（2）由?ABCD无限接近菱形，得AD＜8，点G与D点重合时，AD取最小值，由AD=AH=HB得出AD的取值范围；
（3）分两种情况：
①当G在边BC上时，如图1，根据2AD=AF=AB+BF列式计算可得AD的长；
②当G是边CB的延长线上时，如图2，根据AF=AB-BF列式可得AD的长$\frac{16}{5}$．

解答 解：（1）如图2，△BFG是等腰三角形，理由是：
过E作EH∥AD，交AB于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴四边形ADEH是平行四边形，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAH，
∵DC∥AB，
∴∠DEA=∠EAH，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
∴?ADEH是菱形，
∴AH=EH，
∴∠EAH=∠AEH，
∵AE⊥EG，
∴∠AEG=90°，
∴∠EAH+∠HFE=90°，∠AEH+∠HEF=90°，
∴∠HEF=∠HFE，
∵EH∥AD，AD∥BC，
∴EH∥BC，
∴∠HEF=∠G，
∵∠HFE=∠GFB，
∴∠GFB=∠G，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形；
如图1，结论仍然成立，理由是：
过E作EH∥AD，交AB于H，
同理得：∠HEF=∠HFE，
∵EH∥BC，
∴∠HEF=∠BGF，
∴∠HFE=∠BGF，
∴BF=BG，
∴△BFG是等腰三角形；
（2）如图1，∵若点G无限接近C点时，E点也会无限接近C点，
∴?ABCD无限接近菱形，
∴AD＜8，
又∵点G与D点重合时，AD取最小值，如图3，
过E作EH∥AD，交AB于H，
同理得：AD=AH=HB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∵点G在B，C之间，
∴AD的范围：4＜AD＜8；
（3）当G在边BC上时，如图1，
∵BG=BF=$\frac{1}{2}$BC，AF=2AD，
∴2AD=AF=AB+BF=8+$\frac{1}{2}$BC=8+$\frac{1}{2}$AD，
∴AD=$\frac{16}{3}$，
当G是边CB的延长线上时，如图2，
∵BG=$\frac{1}{2}$BC，AF=2AD，BF=BG，
∴AF=AB-BF=AB-BG，
2AD=8-$\frac{1}{2}$AD，
AD=$\frac{16}{5}$，
综上所述，当2BG=BC时，AD的长度的长为$\frac{16}{3}$或$\frac{16}{5}$．

点评 本题四边形的综合题，考查了平行四边形、菱形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，难度适中，关键是能作出平行线，运用了类比的解题思路，使问题得以解决．