Question

已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）求证：△CPB≌△AEB；
（2）若PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明AB=BC；直接证明△CPB≌△AEB，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明PC=AE，∠PBE=90°；证明PE²+PA²=AE²，得到∠APE=90°，即可解决问题．

解答：解：（1）如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CB；
在△CPB与△AEB中，

BC=BA ∠CBP=∠ABE BP=BE

，
∴△CPB≌△AEB（SAS）．
（2）如图，连接PE．
∵△CPB≌△AEB，且∠ABE=∠CBP，
∴PC=AE，∠PBE=∠ABC=90°；
∴∠BPE=∠BEP=45°；
∵PA：PB：PC=1：2：3，
∴设PA=λ，则PB=2λ，PC=3λ；
∴PE²=（2λ）²+（2λ）²=8λ²，
∵PE²+PA²=（3λ）²，
∴PE²+PA²=AE²，
∴∠APE=90°，而∠BPE=45°，
∴∠APB=135°．

点评：该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识点．