Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；
（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标．

解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2．
将A（-1，0），B（4，0）代入，
得

a-b+2=0 16a+4b+2=0

，解得

a=- 1 2 b= 3 2

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．
（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=

22+42

=2

5

．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则

1

2

×2

5

h=

1

2

×2×4，
∴h=

4

5

5

．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴

AB

BC

=

|y|

4 5 5

，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
得x₁=0，x₂=3．
当y=-2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解题的关键是正确求出函数的解析式．