Question

如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PD∥AC交AB于E，且∠BPD=∠ADC．
（1）求证：直线BP为⊙O的切线．
（2）若点E为PD的中点，AC=2，BE=1，求tan∠BAD的值．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接BC，求出∠ACB=90°，根据PD∥AC，推出BC⊥PD，求出∠ABC+∠PEB=90°，求出∠BPD+∠PEB=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△ABC和△BEP相似，得出比例式，即可求出AB=2PE=2DE，从而求得OD=DE，进而求得OH=HE=EB=1，AH=4，DH=2

2

，通过解直角三角形即可求得．

解答：解：（1）连BC，则∠ACB=90°，
∵PD∥AC，
∴BC⊥PD，
∴∠ABC+∠PEB=90°，
∵∠ADC=∠ABC∠BPD=∠ADC，
∴∠ABC=∠BPD，
∴∠BPD+∠PEB=90°，
∴∠PBE=90°，
∴BP⊥AB，
∴BP切⊙O
（2）作DH⊥AB于H，连OD，
∵PD∥AC，
∴∠CAB=∠BEP，
∵∠ACB=∠PBE=90°，
∴△ABC∽△EPB，
∴

AB

PE

=

AC

BE

=

2

1

，
∴AB=2PE，
又∵E为PD的中点，
∴AB=2DE，
∴OD=DE，
∴OH=HE=EB=1，
∴AH=4  DH=

32-12

=2

2

，
∴tan∠BAD=

DH

AH

=

2 2

4

=

2

2

．

点评：本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的性质和判定、切线的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．