Question

如图：在平面直角坐标系中，直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，且OA=8，点C是x轴上一点，如果把△AOB沿着直线BC折叠，那么点A恰好落在y轴负半轴上的点D处．
（1）线段OB的长为

 

，点D的坐标为

 

；
（2）求线段OC的长；   
（3）求tan∠ABC的值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由OA的长得到点A的坐标，代入y=kx+6中求出k的值，从而确定出直线AB的表达式；令直线AB的表达式中的x=0，求出点B的坐标，从而得到OB的长，由OA的长，利用勾股定理求出AB的长，由折叠可知三角形ABC与三角形DBC全等，故AB与BD相等，由BD的长求出OD的长，得到点D的坐标；
（2）由折叠可知三角形ABC与三角形DBC全等，所以∠BAO与∠BDC相等，它们的正切值也相等，根据正切函数定义列出比例式即可求出OC的长；
（4）由折叠可知三角形ABC与三角形DBC全等，所以∠ABC与∠DBC相等，把要求的tan∠ABC转换为tan∠DBC，根据正切函数定义求出值即可．

解答：解：（1）由OA=8得到：A（8，0），代入y=kx+6中得：
8k+6=0，解得：k=-

3

4

，
∴直线AB的表达式为y=-

3

4

x+6；
令x=0得：y=-

3

4

×0+6=6，
∴B（0，6），
∴OB=6；
∵OA=8，根据勾股定理得：AB=10，
由折叠可知：△ABC≌△DBC，
∴AB=BD=10，
∴OD=4，
∴点D坐标为（0，-4）；
故答案为6，（0，-4）．

（2）由折叠可知：△ABC≌△DBC，
∴∠BAO=∠BDC，
则tan∠BAO=tan∠BDC，即

BO

AO

=

OC

OD

，则OC=

6×4

8

=3．

（3）由折叠可知：△ABC≌△DBC，∠ABC=∠DBC，
则tan∠ABC=tan∠DBC=

OC

OB

=

3

6

=

1

2

．

点评：此题考查了全等三角形的性质、三角函数的定义以及一次函数的综合运用．本题的关键是由折叠得三角形全等，利用全等得对应边和对应角相等，借助转化的思想解决数学问题．