Question

9．已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，且CD=2，点E是线段BD上任意一点，以CE为边向左侧作正方形CEFG，EF交BC于点M，连接BG交EF于点N．
（1）证明：△CAE≌△CBG；
（2）设DE=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值；
（3）当DE=2$\sqrt{2}$-2时，求∠BFE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据SAS即可证明；
（2）只要证明△NBE∽△EDC，可得$\frac{BN}{ED}$=$\frac{BE}{CD}$，可得$\frac{y}{x}$=$\frac{2-x}{2}$，由此即可解决问题；
（3）在CD上取一点K，使得DE=DK=2$\sqrt{2}$-2，首先证明KE=KC，再证明△BEF≌△KEC即可解决问题；

解答 （1）证明：∵四边形EFGC是正方形，
∴CG=CE，∠GCE=∠GFE=∠FEC=90°，
∵∠ACB=∠GCE=90°，
∴∠GCB=∠ECA，
∵GC=CE，CB=CA，
∴△CAE≌△CBG．

（2）解：∵CB=CA，CD⊥AB，∠ACB=90°，
∴CD=BD=AD=2，∠CBA=∠A=45°，
∵△CAE≌△CBG，
∴∠CBG=∠A=45°，
∴∠GBA=∠GBC+∠CBA=90°，
∵∠BEN+∠BNE=90°，∠BEN+∠CED=90°，
∴∠BNE=∠CED，∵∠EBN=∠CDE=90°，
∴△NBE∽△EDC，
∴$\frac{BN}{ED}$=$\frac{BE}{CD}$，
∴$\frac{y}{x}$=$\frac{2-x}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴x=1时，y的最大值为$\frac{1}{2}$．

（3）解：在CD上取一点K，使得DE=DK=2$\sqrt{2}$-2，
∴EK=4-2$\sqrt{2}$，
∵CK=CD-DK=2-（2$\sqrt{2}$-2）=4-2$\sqrt{2}$，
∴KC=EK，
∵∠EKD=∠KED=45°，
∴∠KEC=∠KCE=22.5°，
∴∠CED=67.5°，
∴∠FEB=90°-67.5°=22.5°，
∵BE=BD-DE=4-2$\sqrt{2}$=EK，CE=EF，∠BEF=∠ECK，
∴△BEF≌△KEC，
∴∠EFB=∠ECK=22.5°．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．