Question

4．如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=7cm，点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B移动，同时，点F从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C移动，当点F到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，△BEF的面积为5cm²？
（2）当t为何值时，△BEF与△ABD相似？

Answer 1

分析 （1）用t表示出BE及BF的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分△BEF∽△ABD与△BEF与△ADB两种情况进行讨论即可．

解答 解：（1）∵AB=5cm，BC=7cm，点E从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B移动，同时，点F从点B出发，沿BC方向以2cm/s的速度向点C移动，
∴BE=5-t，BF=2t．
∵△BEF的面积为5cm²，
∴$\frac{1}{2}$BF•BE=5，即$\frac{1}{2}$×2t×（5-t）=5，解得t₁=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$（舍去），t₂=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．
答：当t=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$时，△BEF的面积为5cm²；

（2）∵BE=5-t，BF=2t，
∴当△BEF∽△ABD时，$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BF}{AD}$，即$\frac{5-t}{5}$=$\frac{2t}{7}$，解得t=$\frac{35}{17}$；
当△BEF与△ADB时，$\frac{BE}{AD}$=$\frac{BF}{AB}$，即$\frac{5-t}{7}$=$\frac{2t}{5}$，解得t=$\frac{25}{19}$．
综上所述，当t为$\frac{35}{17}$秒或$\frac{25}{19}$秒时，BEF与△ABD相似．

点评 本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．