Question

17．已知：|b-1|+|a-2|=0，求：$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…+$\frac{1}{（a+2006）（b+2006）}$的值．

Answer 1

分析 先利用绝对值的意义计算出a=2，b=1，则于是变形为原式=$\frac{1}{2×1}$+$\frac{1}{3×2}$+$\frac{1}{4×3}$+$\frac{1}{5×4}$+…+$\frac{1}{2008×2007}$，然后利用$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$进行化简得到原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2008}$，再进行分数的加减运算．

解答 解：根据题意得b-1=0，a-2=0，解得a=2，b=1，
原式=$\frac{1}{2×1}$+$\frac{1}{3×2}$+$\frac{1}{4×3}$+$\frac{1}{5×4}$+…+$\frac{1}{2008×2007}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{2007}$-$\frac{1}{2008}$
=1-$\frac{1}{2008}$
=$\frac{2007}{2008}$．

点评 本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．解决本题的关键是利用$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$进行化简．